Se si tratta solo di patrocinio, di solito non serve nessun “contratto”.
Si richiede il patrocinio per il prodotto X, che dovrebbe essere gratuito. L'ente pubblico in cambio ha semplicemente la pubblicità derivante dalla diffusione del prodotto.
Mi viene però in mente che quello di cui parli tu sia la “produzione” congiunta.
In poche parole, L'ente pubblico caccia dei soldi 
In tal caso dipende da diversi fattori…
Il gioco è distribuito e venduto o è un gadget che viene regalato? L'editore presta solo servizio (ricevendo un compenso) o partecipa alle spese con una quota? L'autore viene pagato come professionista (quindi a prestazione, sia essa tramite partita iva o prestazione occasionale, e riceve “tutto e subito”), come autore “standard” (royalties)?
Per esempio, la Grande Opera è un gioco fatto da un'associazione (che funge da editore), patrocinato da un museo (che non metteva soldi) e il design era pagato a prestazione.
L'associazione paga tutto, incluso l'autore.
Fiume di Parole è sempre pagato da un'associazione, patrocinato da un'azienda pubblica, e realizzato dall'azienda per cui lavoro. L'associazione paga l'azienda (ovviamente non c'è nessun compenso extra per me, visto che già prendo lo stipendio).
Se invece parli di coinvolgere un editore vero e proprio, si aprono molteplici scenari… ma l'editore dovrebbe teoricamente già sapere come funzionano queste cose.
Insomma, dipende da chi fa cosa e soprattutto da chi è che paga
Marco Valtriani
Red Glove Edizioni & Distribuzioni
Lead Designer
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Board Game Designers Italia